Понятие об уравнениях математической физики. Граничные и начальные условия

2397
0
07 июля 2009
(32.1.) Всякий технологический процесс осуществляется на основе действия базовых законов природы, ряд из них уже изучен в полной мере и определен в виде математических зависимостей, которые, как правило, отражены в форме дифференциальных уравнений в частных производных.

Мы разберем основные уравнения математической физики. Для менее комплексного изложения исследуем случай линейных дифференциальных уравнений второго порядка с частными производными для функций двух переменных.

В качестве главных УМФ определяют:

1) Волновое уравнение для неизвестной функции32.1_html_6a7003e3.gif

 

(32.1)

32.1_html_m59265a0d.gif

 

Данное уравнение используется с целью составления характеристики процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний, колебаний газа и пр.

 

2) Уравнение теплопроводимости (уравнение Фурье)

 

(32.2)

32.1_html_m1d25f641.gif

 

этот тип уравнения применяют для описания процесса распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде и пр.

 

3) Уравнение Лапласа для функции32.1_html_m1f717d0a.gif

 

(32.3)

32.1_html_m38d9cca0.gif

 

в подобный вид преобразуют стационарные задачи об электрических и магнитных полях, а также задачи гидромеханики, диффузии и пр.

Ниже обозначены соответствующие уравнения, применяемые для функций, для которых характерно наличие большего числа переменных, допустим, для функции32.1_html_m375e2c2.gif:

 

32.1_html_5d4186f9.gif

 

Чтобы составить описание реального физического процесса следует иметь данные об исходном состоянии процесса, а также значения функции и ее производных на границе области. Иными словами, нужно знать начальные и граничные условия.

Для уравнения (32.1) характерны четыре условия (по два условия на каждую переменную32.1_html_6a7003e3.gif, удовлетворяющую уравнению (32.1) при определенных усорвиях. Обозначим их:

1) начальные условия

 

32.1_html_m5b9abc58.gif

 

2) граничные условия

 

32.1_html_m565dc2f6.gif

 

Функция32.1_html_101561a5.gifобеспечивает отклонение струны от положения равновесия в т.32.1_html_m2448f423.gifв момент32.1_html_m2448f423.gifв момент32.1_html_5a40e08c.gif, функции32.1_html_m5e3c9a04.gif- законы движения концов струны.

Начальные и граничные условия для уравнения (32.2) можно отобразить следующим образом:

 

32.1_html_m344689f3.gif

 

Для уравнения (32.3) определяются только граничные условия, а задача именуется краевой. В случае, когда находится функция32.1_html_m1f717d0a.gif, являющаяся дважды дифференцируемой и удовлетворяющей в области32.1_html_m32356df.gifуравнению (32.3) и которая принимает в каждой т.32.1_html_mcce7a77.gifопределенное значение32.1_html_m7f5bbab7.gif, подобную задачу принято называть задачей Дирихле.

Для данных задач характерно нахождение лишь одного решения, что обеспечивают начальное и конечное условия. Сама задача должна быть сформулирована корректно, это означает, что должно существовать ее решение, которое, в свою очередь, должно быть единственным и устойчивым (иными словами, несущественным измененниям начальных данных должно соответствовать малое изменение решения).



(38.4.) Сформулируем понятие конечного автомата, обозначим входной алфавит, выходной алфавит, алфавит состояний, функцию переходов, функцию выходов, на рисунке изобразим граф переходов.
2933 0
(38.3.) Большинство графов, которые используются в приложениях (например, графы сортировок, классификаций) предполагают наличие диаграмм, именуемых деревьями. Связный неориентированный граф без циклов, в частности, предполагающий отсутствие петель и кратных ребер, именуют деревом. Несвязный неориентированный граф без цикла — лес, его связные компоненты являются деревьями.
8097 0
(38.2.) В рамках обозначенной темы рассмотрим случай определения связного неориентированного мультиграфа в качестве эйлерова и гамильтонова графа.
10823 0

    Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

    При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.3082 s