Построение математической модели задачи о распространении тепла

2151
0
07 июля 2009
(32.3.) В рамках обозначенной тематики нам понадобится однородный неравномерно нагретый стержень, длина которого составляет l. Допустим, что его боковая поверхность является теплонепроницаемой и все точки поперечного сечения предполагают эквивалентную температуру.
Разместим ось32.3_html_m31cfc4c6.gifтаким образом, чтобы один конец стержня располагался в т.32.3_html_m18acc0ec.gif, а другой чтобы находился в т.32.3_html_6924f821.gif(рис. 32.1). За температуру стержня в момент32.3_html_m7818696f.gifв точке32.3_html_m7818696f.gif).

32.3_html_m44f08df7.gif
Рис. 32. 1

 

Установлено, что скорость распростарнения тепла32.3_html_m5850e259.gif, иначе выражаясь, количество тепла, которое проходит через сечение с абсциссой32.3_html_m1a3633bc.gifза единицу времени, вычисляется с помощью следующей формулы:

 

32.3_html_m6722b430.gif

 

в данном случае32.3_html_61fdc23f.gifесть площадь сечения,32.3_html_m2eb3d1ee.gifявляется коэффициентом теплопроводимости.

Исследуем элемент стержня между сечениями с абсциссами32.3_html_2ae85892.gifи32.3_html_m56921c9d.gifОбъем тепла32.3_html_m79aed967.gif, сообщенное ему за время32.3_html_m3b244d7e.gif, находят по формуле

 

32.3_html_e39d7bb_show.gif

 

Использовав формулу Лагранжа, имеем

 

32.3_html_m58093fc5.gif

 

Предположим, что обозначенный элемент стержня настолько мал, что температура в каждый момент всех его точек эквивалентна. В этом случае, сообщенный этому элементу стержня объем тепла32.3_html_5ad9da31.gifза время32.3_html_m4595807b.gifможно найти с помощью формулы

 

32.3_html_m60e5676c.gif

 

здесь32.3_html_4b33d069.gifи32.3_html_247faf0a.gifпредставлены в качестве теплоемкости и плотности вещества (соответственно), что является характерным для стержня.

По формуле Лагранжа, запишем

 

32.3_html_m362c81e5.gif

 

В результате приравнивания выражения для32.3_html_5ad9da31.gif, получаем

 

32.3_html_m714df627_show.gif

 

Произведя сокращение на32.3_html_6a81abd6.gifи в результате перехода к пределу при32.3_html_m2c581773.gif, имеем

 

32.3_html_m10310cff.gif

 

Данная запись является уравнением распространения тепла в однородном стержне, его также называют уравнением теплопроводимости (32.2).

Таким образом, можно обозначить модель задачи о распределении тепла в стержне (смешенная краевая задача):

Найти функцию32.3_html_m10dfef76.gif, которая удовлетворяет:

1) уравнению теплопроводности;

2) исходному условию32.3_html_ada599a.gif;

3) граничным условиям32.3_html_m39e48142.gif

 



(38.4.) Сформулируем понятие конечного автомата, обозначим входной алфавит, выходной алфавит, алфавит состояний, функцию переходов, функцию выходов, на рисунке изобразим граф переходов.
3118 0
(38.3.) Большинство графов, которые используются в приложениях (например, графы сортировок, классификаций) предполагают наличие диаграмм, именуемых деревьями. Связный неориентированный граф без циклов, в частности, предполагающий отсутствие петель и кратных ребер, именуют деревом. Несвязный неориентированный граф без цикла — лес, его связные компоненты являются деревьями.
8359 0
(38.2.) В рамках обозначенной темы рассмотрим случай определения связного неориентированного мультиграфа в качестве эйлерова и гамильтонова графа.
11376 0

    Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

    При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.1940 s