Метод Фурье. Решение смешанной задачи для уравнений колебаний струны

10673
0
07 июля 2009
(33.2./33.2.1.) Обозначим особенность метода Фурье и используем его для решения уравнения теплопроводимости, уравнения Лапласа, волнового уравнения. Обозначим специфику решения смешанной задачи для уравнений колебаний струны.

Метод Фурье (метод разделения переменных) базируется на разделении переменных в уравнении (32.1) посредством замены33.2_html_2eec5a68.gif

Решая задачи для уравнений (32.1)-(32.3), используем данный метод.

 

Задача. Решить уравнения (32.1) для струны конечной длины33.2_html_123e9561.gif при наличии следующих условий:

1) граничных

 

(33.4)

33.2_html_m77edd756.gif

 

2) начальных

 

(33.5)

33.2_html_m514cd0f2.gif

 

Нетрадиционное решение сформулирвоанной задачи найдем в виде

 

33.2_html_7a197b.gif

 

Использовав его в (32.1), получим

 

(33.6)

33.2_html_7f010d3.gif

 

Поскольку в (33.6) левая часть предполагает зависимость от33.2_html_m7818696f.gif, а правая зависит только от33.2_html_m1a3633bc.gif, то знак равенства между ними может иметь смысл при условии, что обе части равны постоянной, которая имеет обозначение33.2_html_m6c57082d.gifПредположим, что33.2_html_m45845f35.gif, в этом случае можно записать два стандартных дифференциальных уравнения:

 

(33.7)

33.2_html_5ed87afa.gif

 

(33.8)

33.2_html_m7327716e.gif

 

Теперь обозначим общее для них решение (соответственно)

 

(33.9)

33.2_html_m195142c6.gif

 

Найти постоянные33.2_html_m5304ca34.gif можно из определенных в задаче условий. Используем (33.9) в граничных условиях (33.4)33.2_html_m3ab1f309.gif:

 

33.2_html_m1d928b95.gif

 

Поскольку33.2_html_m91077f3.gif(находим нетрадиционное решение), то

 

33.2_html_3a245dbf.gif

 

Пусть33.2_html_m3089da3a.gif, в противном случае было бы33.2_html_m3be0ae14.gifТаким образом, имеем последовательность частных решений

 

33.2_html_m159e7051.gif

 

33.2_html_m2aaf81c1.gifесть последовательность частных решений (32.1). Запишем их сумму

 

(33.10)

33.2_html_m423e12d1.gif

 

по причине линейности и однородности (32.1) также можно назвать его решением, которое удовлетворяет (33.4) тогда, когда выполняются заданные условия по отношению к сходимости ряда (33.10). Достаточно представить правильную сходимость ряда (33.10) и рядов, образованных из него почленным двойным дифференцированием по33.2_html_2ae85892.gifи по33.2_html_m67682fd2.gif: при выполнении условия33.2_html_66cbad82.gifуравнение (33.7) можно записать так

 

33.2_html_7d9290cd.gif

 

Его общее решение33.2_html_7370a90d.gif не удовлетворяет условиям (33.4).

К тому же значения33.2_html_m26e694dd.gifименуют собственными значениями этой краевой задачи, а соответствующие им функции33.2_html_m7939fbf7.gifимеют названия собственных функций.

В (33.10) определяем33.2_html_13ba1c40.gifв соответствии с начальными условиями (33.5):

 

33.2_html_m7cc9206d_show.gif

 

В случае, когда функции33.2_html_4cf195e6.gifудовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, тогда коэффициенты33.2_html_m32f4dffa.gif можно определить в качестве коэффициентов Фурье:

 

(33.11)

33.2_html_m6a14a066.gif

 

Итак, ряд (33.10) с коэффициентами (33.11) есть решение сформулированной задачи.



(38.4.) Сформулируем понятие конечного автомата, обозначим входной алфавит, выходной алфавит, алфавит состояний, функцию переходов, функцию выходов, на рисунке изобразим граф переходов.
3118 0
(38.3.) Большинство графов, которые используются в приложениях (например, графы сортировок, классификаций) предполагают наличие диаграмм, именуемых деревьями. Связный неориентированный граф без циклов, в частности, предполагающий отсутствие петель и кратных ребер, именуют деревом. Несвязный неориентированный граф без цикла — лес, его связные компоненты являются деревьями.
8359 0
(38.2.) В рамках обозначенной темы рассмотрим случай определения связного неориентированного мультиграфа в качестве эйлерова и гамильтонова графа.
11376 0

    Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

    При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.3957 s