Сложение и умножение вероятностей

2221
0
07 июля 2009
(34.4.) Рассмотрим специфику осуществления математических действий сложения вероятностей, а также представления их произведения.


Т: В случае, когда34.4_html_7314ddf4.gifявляются несовместными событиями34.4_html_m227d217e.gif

 

(34.3)

34.4_html_24564da9.gif

 

иначе

 

(34.4)

34.4_html_71269d48.gif

 

Формула (34.3) справедлива и для вероятности суммы34.4_html_6efbf575.gifнесовместных событий.

Теорема представляет собой следствие34.4_html_5d457979.gifвероятности (формула (34.1)). Обозначенные в формуле (34.4) слева34.4_html_3bc769cf.gifи справа в сумме34.4_html_m23b21c12.gifвероятности для34.4_html_2713c34d.gifучитываются дважды.

За счет вычитания в правой части34.4_html_m59b0c88a.gifона приравнивается к левой.

Следствие. Вероятность события34.4_html_m3174fc5f.gifпротивоположного событию34.4_html_m10e13460.gifесть

 

34.4_html_2d4b5de7.gif

 

В соответствии с (34.3) запишем

 

34.4_html_23c97b4.gif

 

Пример 1: В корзину положили разноцветные шары: 2 зеленых, 4 желтых, 7 красных, 10 белых. Наугад выбирают один шар. Определить вероятность того, что он не является белым.

Пространство34.4_html_46df57ca.gifвключает 23 элементарных события. Стохастическое событие, которое состоит в выборе цветного шара,34.4_html_m4c8789e0.gifВ данном случае34.4_html_35b01cdd.gifпредставляет собой событие, которое заключается в выборе зеленого шара,34.4_html_59829c5f.gif- желтого,34.4_html_4e9094b0.gif- красного. Поскольку

 

34.4_html_m5d25f297.gif

 

в соответствии с формулой (34.3) запишем

 

34.4_html_m55110eb7_show.gif

 

Пример 2: Вероятность наступления пасмурного дня34.4_html_m1a0339de.gifОпределить вероятность того, что день ясный.

Событие34.4_html_m3174fc5f.gif, которое предполагает, что день ясный, является противоположным событию34.4_html_m213bd1f5.gif(дождливый день), таким образом,

 

34.4_html_m1b31b4f0.gif

 

О: Вероятность события34.4_html_m213bd1f5.gifв предположении, что состоялось событие34.4_html_m4b874813.gif, определяют в качестве условной вероятности. Имеет обозначение34.4_html_12b441da.gif

События34.4_html_m3e889283.gifименуют независимыми при условии, что предположение о прошествии одного из событий не оказывает влияние на вероятность другого события, иначе выражаясь,

 

(34.5)

34.4_html_m244039f2.gif

 

В случае, когда34.4_html_7314ddf4.gifявляются независимыми, можно записать

 

(34.7)

34.4_html_m67be67de.gif

 

Формула (34.7) справедлива и для вероятности произведения34.4_html_m7f54c688.gifнезависимых событий.

Разберем обычный случай. Предположим, что

 

34.4_html_m1facfabc.gif

 

Если34.4_html_m788dc95f.gifсостоялось, то34.4_html_55088dcd.gifсодержит34.4_html_m1ea6ea67.gifэлементарные события34.4_html_4300dcdb.gif соответственно,34.4_html_376d705.gifТаким образом,

 

34.4_html_4fb6a473.gif

 

Формула (34.7) составлена на основе (34.6) и (34.5).

Пример 1: Из карзины, в которой находятся 3 белых и 7 черных шаров, вытаскивают два. Определить веротяность произвольного выбора двух белых шаров.

Событие34.4_html_m788dc95f.gifпонимают извлечение из корзины белого шара, если произошло34.4_html_64dedb33.gif, таким образом, вероятность того, что оба шара белые,

 

34.4_html_4d996578.gif

 

Пример 2: Сотрудник цеха работает на трех станках, которые производят продукцию независимо друг от друга. Веротяность того, что в течение часа рабочий не будет находиться у первого станка составляет34.4_html_m5d094952.gifу второго -34.4_html_m73689481.gifу третьего -34.4_html_m55322908.gifОпределить вероятность того, что ни один из станков не потребует внимания от рабочего в течение часа.

В соответствии с формулой (34.7) запишем

 

34.4_html_mf3a4292.gif

 

Т: Предположим, что случайные события34.4_html_2a0dbc8.gifсоставляют полную группу событий. Таким образом, для всякого случайного события34.4_html_m7e0a351c.gifсправедлива формула

 

(34.8)

34.4_html_m2f8bf3c0.gif

 

(34.8) имеет название формулы полной вероятности.

Событие34.4_html_55088dcd.gifможет состояться только с одним из несовместных событий34.4_html_m28ae24b9.gifв этом случае34.4_html_17d75189.gif Используя формулу (34.3), запишем34.4_html_81b9a4e.gifТеперь на основе (34.6) обозначим для каждого слагаемого

 

34.4_html_m366cb320.gif

 

Это и является доказательством формулы (34.8).

Пример: В двух ящиках находятся шары. В первый ящик поместили два белых и один черный шар, во второй — белый и четыре черных шара. Выбираем любой из ящиков и достаем оттуда шар. Определить вероятность того, что он является белым.

Пространство34.4_html_m213bd1f5.gifпредставляет собой выбор шара. Таким образом,34.4_html_5741834e.gifи в соответствии с формулой (34.8):

 

34.4_html_m79144ee2.gif

 

На основе формул34.4_html_38647af9.gifи (34.8) составим формулу Байеса:

 

(34.9)

34.4_html_m1a6de35e.gif

 

Объяснить смысл формулы можно так: существует полная группа гипотез34.4_html_m213bd1f5.gif. В случае, когда возникло событие34.4_html_m213bd1f5.gif, (34.9) может определить вероятности гипотез после завершения эксперимента.

 



(38.4.) Сформулируем понятие конечного автомата, обозначим входной алфавит, выходной алфавит, алфавит состояний, функцию переходов, функцию выходов, на рисунке изобразим граф переходов.
2988 0
(38.3.) Большинство графов, которые используются в приложениях (например, графы сортировок, классификаций) предполагают наличие диаграмм, именуемых деревьями. Связный неориентированный граф без циклов, в частности, предполагающий отсутствие петель и кратных ребер, именуют деревом. Несвязный неориентированный граф без цикла — лес, его связные компоненты являются деревьями.
8173 0
(38.2.) В рамках обозначенной темы рассмотрим случай определения связного неориентированного мультиграфа в качестве эйлерова и гамильтонова графа.
11018 0

    Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

    При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2358 s