Правила дифференцирования

Если функции и подлежат дифференцированию в точке, то в этой точке также дифференцируемы сумма, произведение и частное (если) этих функций, причем

Доказательство

а)

По свойству предела суммы получаем

Имеется возможность выноса постоянного множителя из-под знака производнойНапример,

б) Функцию можно записать как . Однако . Исходя из свойства предела произведения имеем Пользуясь доказанным равенством, получим, что

Посредством раскрытия скобок и приведения подобных членов, получим формулу

в) Для доказательства этой формулы стоить отметить, что

Используя свойство предела частного, будем иметь. Затем представим в виде произведения функцийи , откуда и выводится доказываемая формула.

Если подлежит дифференцированию, то где также дифференцируема, причём
.

Если функция непрерывна и строго возрастает в окрестности точки _{, дифференцируема в точке , причём}

Если функции и и , причём
.

Из этой теоремы следует, что дифференциал функции обладает одним и тем же видом как если – независимая переменная, так и если – дифференцируемая функция другого переменного.

Если является чётной функцией, то является нечётной функцией, то – чётная функция.

Пусть в окрестности точки_{, причём .}