Уравнения к касательной и нормальной плоскости в R3

Радиус-векторсоответствует в пространстве каждой т. кривой (рис. 12.4). Пусть функциями параметра являются проекции вектора, тогдаили .

О: Параметрическими уравнениями линии в пространстве именуются , описываемая концом радиус-вектора.

О: называется пределом при

, если .

Вектор-функциясчитается непрерывной в т., если она определена в её окрестности и при этом .

О: Производной вектор-функции называется

Справедливы следующие формулы:

Узнаем направление вектора . Поскольку при т.приближается к т., то в пределе направление секущей даёт направление касательной (рис. 12.5). Таким образом, векторрасположен по касательной к кривой в т..

Напишем канонические уравнения касательной к , которая проходит через т., принимая во внимание, что её направляющий вектор :

.

Возможно провести бесчисленное множество нормалей к в т. перпендикулярно вектору:

.

Пример: Составить уравнение касательной к винтовой линиипри .

◄— уравнение искомой касательной ►

О: Плоскость, в которой находятся касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через т. называется касательной плоскостью к поверхности, задаваемой уравнением, в т. .

Т: Если в т. поверхности с уравнением имеется касательная плоскость ■

□ Пусть линия , в т. (рис.12.6).

Вследствие того, что лежит на поверхности , для сложной функции , . Это равенство является необходимым условием перпендикулярности векторов

и.

Следовательно, все касательные к кривым, которые проходят через т. и лежат на поверхности, будут являться перпендикулярными вектору, то есть будут находиться в одной плоскости.

Применяя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, из приведённого доказательства теоремы получаем, что уравнение касательной плоскости, которая проходит через т. , имеет вид

.

Пример: Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в т. .

◄.

Уравнение касательной плоскости.

Уравнение нормали ►

Пусть линия задана в пространстве как пересечение двух поверхностей, то есть её уравнения

Касательной к линии в т. в этом случае будет являться прямая пересечения касательных плоскостей к данным поверхностям в т. . Направляющий векторвычисляется по формуле

.