ОДУ 1-го порядка. Задача Коши. Общее решение

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка в общем случае имеет вид.

Если его удаётся разрешить относительно , то будем иметь УДО вида

.

Иная форма записи последнего .

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка является , решение которого выглядит как, где — производная постоянная, то есть уравнение имеет бесчисленное множество решений.

О: Задача нахождения решения обыкновенного дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальному условию (такая запись эквивалентна) именуется задачей Коши.

Т. (о существовании и единственности задачи Коши): Если функция и её частная производная непрерывны в окрестности т. , то в окрестностях т.имеется единственное решение задачи Коши ■

О: Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция , которая удовлетворяет следующим условиям:

1. функция является решением ;

2. при любом начальном условии, имеется такое значение , при котором удовлетворяет имеющемуся начальному условию. Точка — области, где выполняются условия существования и единственности решения.

Пример: — общее решение обыкновенного дифференциального уравнения. Пользуясь начальным условием , определяем , то есть— решение задачи Коши в области

Примечание: Иногда общее решение обыкновенного дифференциального уравнения существует в неявном виде , тогда оно именуется общим интегралом.

О: Частным решением обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка именуется функция при данном значении .

Геометрически такое решение представляет семейство кривых на плоскости , которое находится в зависимости от . Эти кривые именуются интегральными кривыми данного обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка. При задании обыкновенного дифференциального уравнения в виде (20.3) определён угловой коэффициент касательных к интегральным кривым в каждой из точек .

Примеры: 1) На рис. 20.1 показаны интегральные кривые дифференциального уравнения , которое обладает общим решением .

1. На рисунке 20.2 показаны интегральные кривые дифференциального уравнения (20.1), которое имеет решение .