Определение двойного интеграла

При решении задачи по определению объёма тела и массы плоской пластинки, мы приходим к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой именуется двойным интегралом (ДИ).

Задача об объёме. Пусть задано тело (рис. 23. 1), которое ограниченное сверху поверхностью , а снизу — конечной замкнутой областью и с боков — цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , при этом граница является направляющей.

Пусть непрерывна вОпределим объём этого тела. Назовём его цилиндрическим. Разделим основание на конечное число элементарных частей (элементов), выберем в каждой из этих частей т.и построим затем элементарное цилиндрическое тело с основаниеми высотой. Сумма объёмов этих цилиндрических «столбиков» является объёмом ступенчатого тела, заменяющего данное тело приближённо:

Пользуясь этой формулой можно найти объём достаточно велико, а их линейные размеры достаточно малы.

О: Диаметром ограниченной замкнутой фигуры именуется длина её наибольшей хорды, (рис. 23.2). Обозначим его через .

Исходя из определения видно, что фигура , с диаметром , тягивается в точку. Подобным же образом определяется диаметр пространственного тела.

Пусть_{. Полагая, что в формуле число частей неограниченно возрастает (), а диаметр наибольшей их них становится сколь угодно малым (), будем иметь точную формулу объёма тела:}

.

Задача о массе тонкой пластинки.

Пусть имеется тонкая пластинка площадью , с площадью _{постоянную плотность, можно записать. При суммировании и переходе к пределу при , получим.}

Эти две задачи привели нас к анализу сумм определённого вида. Соотнесение их связано с некоторой областью и с определённой в ней непрерывной функцией. Суммы вида будем именовать двумерными интегральными суммами. Множество практических задач приводит к нахождению предела таких сумм.

Пусть в области . Разделим на частис площадями , выберем т.и выведем интегральную сумму

.

О: Двойным интегралом от функции по области именуется предел суммы , и от выбора в них точек .

Обозначение:

,

где — подынтегральная функция; — подынтегральное выражение.

Функция, с существующим для неё двойным интегралом, называется интегрируемой.

Вновь проанализировав задачи об объёме тела и массе пластины, можно сделать вывод, что объём цилиндрического тела численно равен двойному интегралу от функции

.

Т: (существования двойного интеграла) Если функция , то двойной интеграл существует ■

Поскольку значение двойного интеграла от , непрерывной в, , то разделим на небольшие прямоугольники со сторонамиипрямыми, которые параллельны осям координат. При этом . Затем посредством выбора в каждом прямоугольнике т., можно записать

,

где, не всегда принимают форму прямоугольников. Тем не менее можно доказать, что ошибки от замены таких площадок прямоугольниками с площадямив пределе должны свестись к нулю.