Площадь круга

Площадь круга равняется половине произведения длины ограничивающей ее окружности на радиус, то есть

Доказательство

Рисунок 1

Возьмём два правильных n-угольника: – вписанный в круг и – описанный около круга (рис.1).

Многоугольники это простые фигуры. В многоугольнике сам находится в круге. Радиусы, которые проведены в вершины многоугольника делят его на,, находящегося в круге — периметр сколь угодно мало отличен от длины окружности, а сколь угодно мало отличен от единицы, следовательно площади многоугольников сколь угодно мало отличны от величины . Исходя из определения площади произвольной фигуры это означает, что площадь круга.

Следствие

Площадь кругового сектора находится по формуле – радиус круга, – градусная мера соответствующего центрального угла (рис. 2).

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Рисунок 4.

Следствие

Площадь сегмента, который не равен полукругу, находится по формуле – градусная мера дуги кругового сегмента, а – площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, которые ограничивают соответствующий сектор. Знак «–» используется, если (рис. 3), знак «+», если (рис. 4).